4-6 |
약 수 와 배 수 |
ㅇ 약수 ; 곱하기 성분에 해당하는 수
예) 12의 약수는 ? 1, 2, 3, 4, 6, 12
풀이) 12 = 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4 이므로 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
ㅇ 최대공약수 ; 여러 수의 약수 중 가장 큰 수
예) 12와 18의 최대 공약수는 ? 6
풀이) 12의 약수 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
18의 약수 = { 1 , 2 , 3, 6, 9, 18 } 이므로
공통된 약수는 { 1, 2, 3 , 6 } 인데 그 중 가장 큰 수는 6 이므로
최대공약수는 6 입니다.
ㅇ 배수 : 배가 되는 수
예) 5의 배수는 ? 5, 10, 15, 20, 25, ......끝없이 계속됩니다.
ㅇ 최소공배수 ; 여러 수의 배수 중 최소인 수
예) 12와 18의 최소공배수는 ? 36
풀이) 12의 배수 = { 12, 24, 36, 48, 60. 72, 84, .... }
18의 배수 = { 18, 36, 54, 72, 90, ...}
12와 18의 공배수는 {36, 72, ...} 인데 그중 가장 작은 수는 36입니다.
ㅇ 관련된 공식
1. 두 식 A, B 는 다음처럼 표현됩니다. ( 단 G 는 최대공약수임 )
A = aG , B = bG (단, a, b 는 서로소)
* 서로소 ; 1외에 공약수가 없는 수
예) 3과 5는 공통된 약수가 1밖에 없으므로 서로소입니다.
4와 6은 공통된 약수가 1, 2 이므로 서로소가 아닙니다.
2. A, B 의 최소공배수를 L 이라고 하면
L = abG = aB = bA
3. AB = LG = abG2
문1] 다음 세 다항식의 최대공약수는 ?
x 2 -1 , x + x 2 , x 2 -2x -3
풀이] 각 다항식을 인수분해하면
x 2 -1 = ( x + 1 ) (x - 1 )
x + x 2 = x ( 1+x )
x 2 -2x -3 = ( x +1 )( x - 3 )
위 식에서 공통으로 들어있는 약수는 1 과 ( x + 1 ) 이다.
따라서, 최대공약수는 x + 1 이다.
답1] x + 1
문2] 두 이차 다항식의 최대공약수가 x + 2 이고
최소공배수가 x 3 + 2 x 2 - x -2 일 때 두 이차 다항식을 구하면 ?
풀이] x 3 + 2 x 2 - x -2 를 인수분해하면
x 3 + 2 x 2 - x -2 = x 2 ( x + 2) - (x +2 )
= ( x + 2 ) ( x 2 - 1 ) = ( x +2 ) ( x - 1 ) ( x + 1)
* x 2 - 1 를 인수분해하면 ( x - 1 ) ( x + 1) 입니다.
따라서 두 이차 다항식( x의 지수가 2인 수, 즉 x 2 )은 다음과 같다.
A = ( x +2 ) ( x - 1 ) = x 2 + x -2
B = ( x +2 ) ( x + 1) = x 2 + 3x + 2
답] x 2 + x -2 , x 2 + 3x + 2